proporzioni - operazioni con le proporzioni - propietà delle proporzioni

PROPORZIONI

L'argomento di oggi riguarda “PROPORZIONI”

Una proporzione non è altro che l'uguaglianza tra due rapporti.

Ad esempio:

a:b=c:d

Dove il rapporto tra a:b è uguale al rapporto tra c:d. Nello specidico il risultato tra le due divisioni è lo stesso.

Le proporzioni quindi ci servono per indicare delle uguaglianze. Le proporzioni ovviamente possiedono varie proprietà.

TERMINI DI UNA PROPORZIONE

Per prima cosa introduciamo la definizione dei "termini di una proporzione". I termini di una proporzione sono gli antecedenti, conseguenti, medi ed estremi.

ANTECEDENTI

Gli antecedenti, in una proporzione, sono i numeri che procedono il segno ":", cioè il primo e il terzo termine.

CONSEGUENTI

I conseguenti sono i numeri che seguono il segno ":", cioè il secondo e il quarto termine.

MEDI

I medi, invece, sono il secondo e il terzo termine, cioè i termini immediatamente precedenti e seguenti al segno "=".

ESTREMI

Gli estremi sono il primo e il quarto termine, cioè primo e ultimo termine della proporzione.

PROPRIETA’ FONDAMENTALE

Ci dice che una proporzione è tale se il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi.

a:b=c:d proporzione di partenza

axd=bxc

Si tratta della più utile e importante proprietà delle proporzioni.  Ad esempio, è utilissima per la soluzione delle operazioni ad un'incognita.

Ad esempio:

5:2=x:10

2 x x= 5 x 10

2 x x = 50 In questo caso dividiamo tutto per 2. Infatti, trattandosi di un'uguaglianza la stessa non dovrebbe mutare applicando ad entrambe la stessa operazione. In questo modo saremo nelle condizioni di eliminare il due nel primo rapporto. Questo può avvenire grazie all'applicazione della proprietà della semplificazione delle frazioni, per le quali il 2 a numeratore si semplifica con il 2 a denominatore (avendo una moltiplicazione a numeratore).

x=25

PROPRIETA’ DELL’INVERTIRE

Dato che si parla di uguaglianza anche invertendo i termini, il risultato dovrebbe coincidere anche invertendo l'ordine dei termini tra loro.

a:b=c:d proporzione di partenza

b:a=d:c

Infatti, se si scambia ogni antecedente con il proprio conseguente si ottiene una nuova proporzione. Questo significa che il prodotto dei medi è sempre uguale al prodotto degli estremi.

Questa proprietà si usa sempre insieme a quella del comporre e dello scomporre per risolvere le proporzioni con due incognite.

PERMUTARE I MEDI E GLI ESTREMI

In buona sostanza, la proprietà del permutare ci dice che se in una proporzione scambiamo tra loro i medi o gli estremi, o entrambi, si ottengono altre proporzioni ugualmente valide.

a:b=c:d proporzione di partenza

a:c=b:d i medi 

In questo caso i medi si invertono (b diventa il primo termine del rapporto con d e c diventa il secondo termine del rapporto con a.

d:b=c:a gli estremi

In questo caso sono gli estremi ad invertirsi (a diventa il secondo termine del rapporto con b e d il primo termine del rapporto con b)

d:c=b:a entrambi

In questo caso per prima cosa si invertono i rapporti tra loro e successivamente si invertono tra loro i singoli termini di ciascun rapporto.

Per le verifiche ci avvarremo della proprietà delle moltiplicazioni

Partiamo dalla proporzione a : b = c : d

1.        Per la proprietà fondamentale sappiamo che il prodotto dei medi è uguale a quello degli estremi, quindi: bxc=axd

Applicando la proprietà commutativa della moltiplicazione sappiamo che al primo termine possiamo tranquillamente applicare la proprietà del permutamento dei medi. Infatti:

cxd=axd

se avessimo applicato la proprietà fondamentale alla proporzione derivante dall’applicazione della permuta dei medi, avremmo avuto: a:c=b:d che diventa cxb=axd

2.        La stessa cosa si verifica per la permuta degli estremi, applicando la proprietà commutativa al secondo termine;

3.        Per la terza condizione invece, la proprietà commutativa va applicata ad entrambi i termini.

PROPRIETA’ DEL COMPORRE

Ci dice che in ogni proporzione la somma dei primi due termini sta al primo, oppure al secondo termine, come la somma tra gli ultimi due termini sta al terzo oppure al quarto termine.

a:b=c:d

Allora:

(a+b):a=(c+d):c oppure (a+b):b=(c+d):d

si tratta di una proprietà molto utile nel risolvere le proporzioni con due incognite.

Facciamo un esempio:

Sapendo che x+y=144 svolgiamo: 2:y=14:x

1.        Permutiamo gli estremi: x:y=14:2 (questo ci serve per portare le incongnite tutte in un rapporto)

2.        Applichiamo una qualsiasi delle proprietà del comporre: (x+y):y=(14+2):2

3.        Sapendo che x+y=144 Sostituiamo x+y e avremo:

144:y=16:2

4.        Applichiamo la proprietà fondamentale delle proporzioni:

16 x y = 144 x 2

quindi

16 x y = 288

Adesso, applicando la verifica della moltiplicazione (che può essere svolta anche dividendo entrambi i termini per 16), avremo:

y=288/16=18

5.        Adesso, con una semplice sottrazione, troveremo x.

x=144-y=144-18=126

Questo perchè, sapendo che x+y=144 e sapendo che y=16, dobbiamo trovare quel numero che sommato a 16 dia come risultato 144. Il metodo più semplice è sottrarre a 144 il valore di y, cioè 16.

PROPRIETA’ DELLO SCOMPORRE

Ci dice che in ogni proporzione la differenza dei primi due termini sta al primo, oppure al secondo termine, come la differenza degli ultimi due termini sta al terzo oppure al quarto termine.

a:b=c:d

Allora:

(a-b):a=(c-d):c oppure (a-b):b=(c-d):d

Se si non sono valide le regole dei numeri relativi, ma solo quelle dei numeri naturali, allora deve valore la condizione, nella proporzione di partenza di:

a>b e c>d.

Allo stesso modo della proprietà del comporre, la proprietà dello scomporre può essere utilizzata in caso di soluzione di equazioni a due incognite. Il procedimento è lo stesso della proprietà dello scomporre con un unica differenza: per prima cosa si applica alla proporzione la proprietà dell'invertire, scambiando ogni antecedente con il proprio conseguente.

1.        Sapendo che x-y=12 determinare y:x=1:3

2.        Applichiamo la proprietà dell’invertire: x:y=3:1

3.        Applichiamo una qualsiasi delle proprietà dello scomporre: (x-y):x=(3-1):3

4.        Sostituiamo x-y e avremo: 12:x=2:3

5.        Applichiamo la proprietà fondamentale per trovare x.

2 x x = 12 x 3

quindi

2 x x = 36

quindi

x = 36/2 = 18

da cui

y=x-12=18=18-12=6