FOCUS PRODOTTI NOTEVOLI – CUBO DI UN BINOMIO - come riconoscerlo e come calcolarlo

FOCUS PRODOTTI NOTEVOLI – CUBO DI UN BINOMIO

L'argomento di oggi riguarda “FOCUS PRODOTTI NOTEVOLI – CUBO DI UN BINOMIO”.

 

Si tratta del prodotto notevole che appare con più frequenza.

La formula è la seguente:

 

primo monomio al cubo + triplo prodotto del primo monomio al quadrato per il secondo + triplo prodotto del primo monomio per il quadrato del secondo + il cubo del secondo monomio.

 

(A+B)³=

=(A+B) (A+B) (A+B) =

= (A² + AB +AB + B²) (A+B) =

= (A² + 2AB + B²) (A+B) =

= A³ + A²B + 2A²B + 2AB² + AB² + B³ =

= A³ + 3A²B + 3AB² + B³ 

 

Conoscendo la legge dei prodotti fra monomi, lo sviluppo del quadrato equivale a moltiplicare per prima cosa i primi due polinomi e successivamente moltiplicare l’ultimo monomio per il risultato.

 

Una scorciatoia sarebbe quella di trasformare il cubo nella moltiplicazione di un binomio per il quadrato di un binomio. Questo è permesso dal fatto che sappiamo che una potenza altro non è che la moltiplicazione della base tante volte quanto è il valore dell’esponente.

(A+B)³ = (A+B)² + (A+B) =

Adesso sviluppiamo il quadrato del binomio

= (A² + 2AB + B²) (A+B) =

Ora moltiplichiamo lo sviluppo del quadrato del binomio per il monomio base

= A³ + A²B + 2A²B + 2AB² + AB² + B³ =

Adesso moltiplichiamo i monomi simili tra loro

= A³ + 3A²B + 3AB² + B³ =

 

Nel caso in cui ci si trovi di fronte ad una differenza, un utile trucco è quello di calcolare il cubo come se fosse un’addizione ma, successivamente, anteporre ai risultati delle moltiplicazioni per il secondo polinomio il segno -, trasformandolo in (-B), applicando successivamente la regola dei segni.

(A-B)³ = (A+(-B))³ =

In questa maniera potremo applicare le regole mostrate sopra senza doverci curare della differenza.

= A³ + 3A²(-B) + 3°(-B)² + (-B)³ =

Adesso dovremo liberare la parentesi applicando la regola dei segni. Il primo (-B) rimarrà negativo, avendo – x + = -. Il secondo -B essendo al quadrato diventerà positivo, - x - = -. Il terzo -B, essendo al cubo, rimarrà negativo poiché è come moltiplicare - x - x - = -.

= A³ - 3A²B + 3AB² - B³ =

 

COME RICONOSCERE IL CUBO DI UN MONOMIO

Il procedimento è analogo a quello del quadrato di un binomio, con la differenza che potremmo essere di fronte al cubo di un binomio anche in presenza di un quadrato di un binomio per un monomio, ma analizziamo attentamente il procedimento.

1.        Ovviamente nella forma classica (a+b)³ non serve alcun particolare accorgimento per riconoscerlo.

2.        FORMA FINALE – spieghiamolo con un esempio

27a³ + 135a²b + 225ab² + 125b³ =

·        in questo caso dobbiamo partire con il controllare se tra i monomi presenti nel polinomio sono presenti dei coefficienti che rappresentano dei cubi:

27a³. 27 è il cubo di 3, infatti la radice cubica di 27 è 3. 3x3x3=27

Ora controlliamo la sua parte letterale

a³ è ovviamente un cubo

di conseguenza abbiamo trovato il primo cubo della formula.

Passiamo al secondo monomio

135a²b. 135 non è un cubo perfetto, infatti la sua radice cubica è 5,13. Di conseguenza, passiamo avanti.

225ab². 225 non è un cubo perfetto, infatti la sua radice cubica è 6,08. Anche in questo caso passiamo avanti.

125b³. 125 è il cubo di 5, infatti la sua radice cubica è 5. 5x5x5=125

b³ è ovviamente un cubo

adesso abbiamo individuato la presenza di 2 monomi che sono dei cubi; tuttavia, ancora non basta per dire se siamo in presenza di un cubo di un binomio.

·        Ora analizziamo i termini centrali per verificare che siano effettivamente il triplo prodotto del primo monomio al quadrato per il secondo, cioè la base dei cubi trovati.

3a+5b è il nostro binomio di base

Verifichiamo se uno dei termini corrisponde al triplo prodotto del primo monomio al quadrato per il secondo. Sviluppiamo l’operazione.

(3a)² (5b) x 3 =

= 9a² (5b) x 3 =

= 45a²b x 3 =

= 135a²b che corrisponde ad uno dei termini del polinomio.

·        Adesso dobbiamo verificare se esiste un termine che sia il triplo prodotto del secondo monomio al quadrato per il primo. Sviluppiamo l’operazione.

(5b)² (3a) x 3 =

= 25b² (3a) x 3 =

= 75ab² x 3 =

= 225ab² che corrisponde ad uno dei termini del polinomio.

3.        BINOMIO AL QUADRATO PIU’ STESSO BINOMIO NON AL QUADRATO – in questo caso dovremo applicare prioritariamente la ricerca del quadrato di un binomio, successivamente cercheremo la presenza dello stesso binomio base rispetto al binomio al quadrato. Facciamo un esempio:

·        (3a+5b)² + (3a+5b) in questo casso intuiamo che ci troviamo di fronte ad un cubo di un binomio, poiché abbiamo il quadrato di un binomio più lo stesso binomio non al quadrato.

·        (9a² + 30ab + 25b²) + (3a+5b)

Questo è più complesso, poiché dobbiamo preliminarmente verificare che uno dei due sia effettivamente il quadrato del binomio. Per questa verifica rimandiamo al relativo articolo qui. Una volta trovato il binomio di base verificheremo che siamo di fronte al cubo di un binomio. Infatti, combacerà con il secondo binomio del polinomio in oggetto.

 

(3a+5b)³ =

(3a+5b)² + (3a+5b) =

(9a² + 30ab + 25b²) + (3a+5b) =

27a³ + 45a²b + 90a²b +150ab² + 75 ab² + 125b³ =

 

27a³ + 135a²b + 225ab² + 125b³ =