FOCUS PRODOTTI NOTEVOLI – QUADRATO DI UN BINOMIO - come riconoscerlo e come calcolarlo

FOCUS PRODOTTI NOTEVOLI – QUADRATO DI UN BINOMIO

L'argomento di oggi riguarda “FOCUS PRODOTTI NOTEVOLI – QUADRATO DI UN BINOMIO”.

 

La formula per un quadrato di un binomio è la seguente:

 

primo monomio al quadrato + il doppio prodotto tra i due monomi + il secondo monomio al quadrato

 

Ci si basa sul fatto che una potenza non è altro che la moltiplicazione della base per il numero di volte rappresentato dall'indice.

Sapendo come funzionano i prodotti tra polinomi, basterà applicare lo stesso principio a questa formula.

 

(A + B)² =

= (A + B) (A+B) = A² +AB + BA + B² =

= A² + 2AB + B²

 

Facciamo un esempio con coefficienti fratti

(1/2ab+3/2b)²

Calcoliamo tutto separatamente. Partiamo dal primo quadrato:

1/2 ab x 1/2ab = 1/4 a²b²

Replichiamo per lo sviluppo del secondo quadrato

3/2b x 3/2b = 9/4b²

Ora svolgiamo il doppio prodotto dei monomi di partenza

(1/2ab x 3/2b) x 2 = 3/4ab² x 2 = 6/4ab² che semplificando diventa 3/2ab²

Allo stesso risultato del doppio prodotto saremmo giunti scrivendo:

2 x 1/2ab x 3/2b in questo caso avremmo semplificato il 2 con il 2 di 1/2 e sarebbe rimasto:

1ab x 3/2b = 3/2ab²

Unendo tutto avremo:

 1/4 a²b² + 3/2ab² + 9/4b²

Questo sviluppo è piuttosto semplice, ma bisogno spiegare, soprattutto, il caso del doppio prodotto in presenza di una frazione.

Si arriva a questa conclusione perché, sviluppando le moltiplicazioni, il risultato ottenuto andrebbe ridotto ai fattori primi. Nell’esempio esposto avremmo avuto:

3/4ab² * 3/4ab²

Come sappiamo, si tratta di monomi simili da portare in forma normale, avendo la parte letterale uguale, e quindi dobbiamo sommare i coefficienti.

In base alle regole della somma delle frazioni, avremo denominatore uguale e numeratore pari alla somma dei numeratori:

6/4ab²

Ma dobbiamo semplificare la frazione a coefficiente, da cui 3/2ab² diventa il risultato finale.

 

COME RICOSCONERE UN QUADRATO DI UN BINOMIO

Un trucco per riconoscere il quadrato di un binomio è quello di cercare immediatamente se siamo di fronte a monomi che rappresentato il quadrato di un altro monomio.

Un esempio chiarirà meglio:

100a² + 1 + 20a

In questo caso ci conviene analizzare il polinomio per capire se sono presenti dei coefficienti che sono dei quadrati:

100 è il quadrato di 10: 10x10=100 e a² è il quadrato di a: a¹ x a¹= (si sommano gli esponenti) a²

20 non è un quadrato, quindi possiamo fermarci

1 è il quadrato (o qualsiasi potenza positiva) di 1: 1x1=1

Adesso sappiamo che esistono due quadrati, il passo successivo è verificare se all’interno del polinomio sia presente un monomio pari al prodotto tra i due monomi base (cioè non con il quadrato sviluppato) successivamente moltiplicato per 2.

Il primo passo può essere verificare la parte del coefficiente:

10x1=10 da cui 10x2=20

Abbiamo visto che il coefficiente rispecchia il requisito, ma dobbiamo verificarlo anche nella parte letterale.

 

a è il prodotto di 1 x a. Infatti, non essendo presente parte letterale nella base del secondo quadrato (1), il prodotto tra monomi prevede la moltiplicazione solo della parte numerica. Stessa cosa per il doppio prodotto che rappresenta 2x10a=20a