FOCUS PRODOTTI NOTEVOLI – SOMMA DI CUBI - come calcolarlo e come riconoscerlo

FOCUS PRODOTTI NOTEVOLI – SOMMA DI CUBI

L'argomento di oggi riguarda “SOMMA DI CUBI”.

 

Si tratta di una dei prodotti notevoli più importanti.

Si calcola come prodotto tra un binomio e un trinomio. La formula è la seguente:

Il binomio sarà dato dalla somma delle due basi. Il trinomio sarà il quadrato della prima base - il prodotto tra le tue basi + il quadrato della seconda base.

 

Nel 99% dei casi questa formula viene utilizzata con la scomposizione, cioè partire dalla somma di due cubi e scomporla. Nella formula che abbiamo già indicato.

La formula è la seguente:

A³ + B³ = (A+B) (A² – AB+B²) =

Svolgiamo il prodotto tra polinomi per dimostrare la formula

= A³ – A²B + AB² + A²B – AB² + B³ =

Svolgiamo la somma algebrica dei monomi simili

= – A²B + A²B = 0 (-1+1=0)

= + AB² – AB² = 0

Da cui otteniamo

A³ + B³

 

Lo svolgimento, quindi, è il seguente:

1.        Il primo termine nella scomposizione sarà il binomio individuato come somma delle sue basi, frapponendo tra loro lo stesso segno del polinomio di partenza.

2.        Come sappiamo, il secondo termine sarà dato dal trinomio, il quale sarà composto agli estremi dal quadrato della prima base e il quadrato della seconda base, mentre come termine centrale avrà il prodotto tra le basi con segno opposto rispetto al polinomio di partenza.

 

Si noterà una certa somiglianza col quadrato del binomio. Infatti, a volte questa proprietà viene anche denominata falso quadrato del binomio, in quanto somigliante allo sviluppo del quadrato del binomio. Tuttavia, è facile intuire che è sprovvisto del coefficiente 2 nel prodotto delle basi, che rappresenta la differenza fondamentale tra i due prodotti notevoli.

 

Facciamo un esempio chiarificatore:

partiamo dal seguente binomio

27x³ + 64y⁸ =

Sviluppiamo le regole appena presentate.

Individuiamo le basi. Per fare ciò ci basterà cercare la radice cubica dei coefficienti e dividere per 3 gli esponenti delle potenze. Se in entrambi i casi otterremo numeri interi sapremo che siamo di fronte alla somma di cubi.

= 3x + 4y² =

Queste sono le nostre basi. Adesso scriviamo la formula della scomposizione:

Dobbiamo scrivere il quadrato della prima base

= (3x + 4y²) (9x²

Ora dobbiamo scrivere il prodotto delle basi con segno meno

= (3x + 4y²) (9x² -12xy²

E adesso dovremo scrivere il quadrato della seconda base

= (3x + 4y²) (9x² -12xy² 16y⁴)

Proviamo a fare la controprova sviluppando le moltiplicazioni

= 27x³ – 36x²y² +48xy⁴ + 36x²y² – 48xy⁴ + 64y⁸ =

Svolgiamo le somme algebriche

– 36x²y² + 36x²y² = 0

+48xy⁴ – 48xy⁴ = 0

Da cui

= 27x³ + 64y⁸

 

Dall'esempio possiamo notare un fatto molto importante.

Samo in presenza della somma di due cubi perché entrambi i termini del polinomio, cioé i due monomi, sono entrambi il risultato di un cubo. Ma lo sono sia nella parte numerica, cioè nel coefficiente, sia nella parte letterale. Infatti:

8=2x2x2 pari a 2³ (come se avessimo sommato gli esponenti di ogni 2, cioè 1)

X³=x*x*x pari a x³ (si sommano gli esponenti pari a 1

Stessa cosa per il secondo monomio

Si potrebbe intuire se siamo in presenza di un cubo se:

1.        Il coefficiente è divisibile per 3 e la sua radice cubica è un numero intero;

2.        Se l’esponente della parte letterale è divisibile per 3 e la sua radice cubica è un numero intero;

Quanto appena detto ha valore nel caso in cui vogliamo lavorare solamente con cubi perfetti.

Infatti, la radice cubica di un cubo perfetto altro non è che la scomposizione in fattori primi di quel numero e dividere per 3 ciascun esponente, preso con il suo esponente, presente nella scomposizione e moltiplicarli tra loro.

Partiamo con la radice di un cubo perfetto

Radice cubica di 3375= 5³x3³=5x3=15

3375 scomposto in fattori primi =

3375|5=

675|5=

135|5=

27|3=

9|3=

3|3=

1

Ovviamente ci si può trovare nella casistica in cui i monomi non siano dei cubi perfetti. In questo caso dovremmo operare applicando la proprietà dei radicali.

Facciamo un ulteriore esempio:

20x⁹ + 40y¹²

Notiamo subito che i coefficienti non sono dei cubi perfetti. Tuttavia, possiamo tranquillamente proseguire applicando le radici ai coefficienti che non possiamo ridurre in base intera.

La parte letterale, invece, può essere trasformata in base intera, di conseguenza solo il coefficiente sarà mantenuto sotto radice.

Tuttavia, possiamo ridurre a potenze il coefficiente che non è un cubo perfetto.

20 = 2² x 5

Replichiamo anche nel secondo monomio

In questo caso, avendo una potenza con coefficiente superiore alla radice possiamo estrarre il numero da dentro la radice cubica. Infatti, l’esponente del 2 è pari all’indice di radice. Per l’estrazione dovremo dividere l’esponente della potenza per l’indice di radice, il risultato sarà l’esponente della potenza fuori radice, mentre se sarà presente un resto questo sarà l’esponente del numero che rimarrà dentro la radice. Avremo:

Ora riscriviamo il tutto facendo attenzione ad applicare le regole dei radicali

Possiamo estrarre la potenza del 2 nel primo quadrato del secondo termine. In questo caso, non essendo 4 multiplo di 3 dovremo individuare il resto. In questo caso il procedimento sarà semplice:

4:3=1 per individuare il resto basterà fare 4(l’esponente della potenza di partenza1x3(l’indice di radice) - 1x3(l’indice di radice) =4-3=1. All’interno della radice rimarrà la base con esponente 1.

 

Ora proviamo a riportare i termini ai loro valori originari eseguendo le operazioni

Partiamo con ridurre le radici

Estraiamo tutto ciò che può essere estratto dalle radici

Adesso effettuiamo le somme algebriche dei monomi simili. Trattandosi di monomi opposti, ovviamente, si annullano a vicenda.

= 20x⁹ + 40y¹²

Spieghiamo un altro fatto non trascurabile, quando dobbiamo scrivere il quadrato dei primi termini, ricordiamoci che alcuni termini sono rimasti con radice cubica. In questo caso la soluzione è piuttosto semplice, basta elevare al quadrato il radicando. Ad esempio

Infatti:

2²=4

³√5²=³√5² (abbiamo applicato quanto detto)

(Y⁴)²=y^4x2=8=y⁸ questo perché la potenza di una potenza è la moltiplicazione tra gli esponenti

 

Per il termine centrale urge una semplice spiegazione. Avendo due radici cubiche, uniamo le basi sotto un'unica radice (trattandosi di una moltiplicazione moltiplichiamo le basi tra loro). Per il resto operiamo come di consueto per le classiche moltiplicazioni tra monomi.

Ad esempio, se abbiamo

-A³+B³

Converrà riscriverlo come

B³-A³

In questo caso applicheremo le regole della differenza dei cubi.

 

Se invece ci troviamo di fronte:

A³-B³

Ci converrà trattarli come valori assoluti da moltiplicare successivamente per il segno meno

-(A³+B³)

Il che ci permette di applicare le regole appena viste.

 

COME RICONOSCERE LA SOMMA DI DUE CUBI

 

Per riconoscere la somma di due cubi dobbiamo verificare le seguenti condizioni se la somma di due monomi è moltiplicata per il quadrato del primo termine – il prodotto dei due monomi base + il quadrato del secondo monomio.