FOCUS PRODOTTI NOTEVOLI – DIFFERENZA DI CUBI - come calcolarla e come riconoscerla

FOCUS PRODOTTI NOTEVOLI – DIFFERENZA DI CUBI

L'argomento di oggi riguarda “DIFFERENZA DI CUBI”

Si tratta di uno dei prodotti notevoli più importanti.

La formula per la scomposizione della differenza è la seguente:

prodotto tra un binomio e un trinomio. Il binomio è formato dalla differenza tra le due basi, mentre il trinomio dal quadrato della prima base + il prodotto tra le due basi + il quadrato della seconda base.

A³-B³ = (A-B) (A²+AB+B²)

È importante notare che tutto il monomio deve essere un cubo, quindi sia la parte numerica che quella letterale devono rispettare questo requisito. Nel caso in cui non fossimo in presenza di cubi perfetti dovremo applicare le proprietà dei radicali e di conseguenza avremo un risultato con radici al suo interno, per approfondirne il meccanisco è utile ripassare la lezione sulla somma dei cubi.

È più utilizzato per la scomposizione che per lo sviluppo.

Particolare attenzione merita una casistica specifica. La differenza di cubi può mostrarsi anche sotto la forma:

-A³+B³

In questo caso conviene riscriverlo come differenza invertendo l’ordine dei termini, sfruttando la proprietà commutativa della somma algebrica.

B³-A³

Nella sostanza il risultato finale sarà lo stesso. Infatti, -2+3 è sempre una differenza, perché come sappiamo sommare un numero positivo ad uno negativo equivale ad effettuare una sottrazione.

Qualche esempio

64x³ – 216y³

Troviamo le basi

4x – 6y

Adesso applichiamo la regola della scomposizione della differenza di due cubi

= (4x-6y) (16x² + 24xy + 36y²) =

Per verificare la correttezza dei calcoli effettuiamo le relative moltiplicazioni

= 64x³ + 96x²y + 144xy² - 96x²y - 144xy² – 216y³ =

Effettuiamo le somme algebriche dei monomi simili (che essendo anche opposti si azzerano), otteremo:

64x³ – 216y³