FOCUS PRODOTTI NOTEVOLI – QUADRATO DI TRINOMIO - come calcolarlo e riconoscerlo

FOCUS PRODOTTI NOTEVOLI – QUADRATO DI TRINOMIO

L'argomento di oggi riguarda “QUADRATO DI TRINOMIO”.

Si tratta di una dei prodotti notevoli meno utilizzato.

La formula della sua scomposizione è la seguente:

Somma di tre quadrati delle basi dei monomi di partenza + somma dei doppi prodotti dei monomi di base presi a coppie.

(A+B+C)² = A² + B² + C² + 2AB + 2BC + 2AC

Per dimostrare la regola del quadrato di un trinomio adoperiamo la definizione di una potenza.

Sappiamo che una potenza altro non è che la il prodotto della base della potenza per sé stesso tante volte quanto indicato dall’esponente della potenza.

(A+B+C)² = (A+B+C) (A+B+C)

Adesso proviamo a svolgere ogni singola moltiplicazione

A² + AB + AC + AB + B² + BC + AC + BC + C²

Eseguiamo la somma algebrica dei vari monomi simili

A² + 2AB + 2AC +B² + 2BC + C²

Ordiniamo i termini in base alla proprietà commutativa

A² + B² + C² + 2AB + 2BC + 2AC

Vediamo un caso particolare

(x-z+c)²

Sfruttiamo il principio dei valori assoluti e della regola dei segni per portare il tutto al quadrato di un trinomio. Ci limiteremo a mettere il dato negativo tra parentesi con il segno meno e anteporgli il segno più fuori parentesi.

(x + (-z) +c)²

Anche se abbiamo apposto il simbolo di addizione, il risultato non cambia (-x+ sarebbe sempre -). Nello sviluppo, quindi, dovremo tenere conto del segno all’interno della parentesi. Infatti:

(x + (-z) +c)² = x² + z² + c² - xz + xc – xz – zc + xc – zc =

Che diventa

x² + z² + c² - 2xz + 2xc – 2zc

COME RICONOSCERE IL QUADRATO DI UN TRINOMIO

1. Individuiamo i tre termini quadratici con lo stesso segno (ricordiamo che potremmo anche essere in presenza di un segno negativo nei doppi prodotti, ma per la regola dei segni questo non può avvenire nei quadrati poiché -x-=+).
2. Verifichiamo se i doppi prodotti tra le basi coincidono con gli altri termini del polinomio.
3. In caso di esito positivo, effettuiamo la scomposizione utilizzando i segni dei doppi prodotti per capire quale segno attribuire a ciascuna base.

Facciamo un esempio chiarificatore

a² + 9b² + 25c² – 81ab +625ac – 225bc

le relative basi dei quadrati saranno

a+3b+5c

calcoliamo i relativi doppi prodotti

2 x a x 3b = 81ab

2 x a x 5c = 625ac

2 x 3b x 5c = 225bc

I valori, come possiamo notare, coincidono ad eccezione di alcuni segni. Proprio queste differenze ci mostrano se sono presenti dei monomi di partenza con segno negativo.

Nel nostro caso, essendo -81 e -225 negativi, che prevedevano entrambi la moltiplicazione per 3b, mentre il terzo termine rimane positivo, significa che il termine negativo era proprio 3b.

Da cui:

(a-3b+5c)² era il trinomio quadrato di partenza

Come evincibile a volte possiamo essere in presenza di scomposizioni che possono portare assegni di tipo diverso l'uno tra l'altro. Ma come detto, essendo in presenza di prodotti e quadrati, in questo caso il risultato finale sarà comunque lo stesso, come nell'esempio esposto.